第4题

设

c>0

为给定的正实数，

\mathbb{R}_{>0}

为全体正实数集合。求所有函数

f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{>0}

，使得

f((c+1)x+f(y))=f(x+2y)+2cx\quad\text{for all }x,y\in\mathbb{R}_{>0}.

第 2/3 步：用非负余项 g(x)=f(x)-2x 改写

g(x)=f(x)-2x\ge0\ \Longrightarrow\ g((c+1)x+2y+g(y))+2g(y)=g(x+2y)

详细分析

令 $g(x)=f(x)-2x\ge0$ 。将 $f(t)=g(t)+2t$ 代入函数方程并消去两边的 $2(c+1)x+4y$ ，得对所有 $x,y>0$ 有 $g((c+1)x+2y+g(y))+2g(y)=g(x+2y)$ 。