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第4题

设 c>0c>0 为给定的正实数，R>0\mathbb{R}_{>0} 为全体正实数集合。求所有函数 f:R>0→R>0f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{>0}，使得 f((c+1)x+f(y))=f(x+2y)+2cxfor all x,y∈R>0.f((c+1)x+f(y))=f(x+2y)+2cx\quad\text{for all }x,y\in\mathbb{R}_{>0}.
第 3/3 步：迭代迫使 g(y)=0
上一步下一步
z>2y ⟹ g(z)≥2m g(y)∀m≥1 ⟹ g(y)=0 ⟹ f(x)=2xz>2y\ \Longrightarrow\ g(z)\ge 2m\,g(y)\quad\forall m\ge1\ \Longrightarrow\ g(y)=0\ \Longrightarrow\ f(x)=2x
详细分析

由 g≥0g\ge0 知当 z=x+2y>2yz=x+2y>2y 时恒有 g(z)≥2g(y)g(z)\ge2g(y)。对 m≥1m\ge1 归纳可得 z>2yz>2y 蕴含 g(z)≥2m g(y)g(z)\ge2m\,g(y)：事实上，当 z=x+2y>2yz=x+2y>2y 时有 (c+1)x+2y+g(y)>2y(c+1)x+2y+g(y)>2y，由归纳假设得 g((c+1)x+2y+g(y))≥2(m−1)g(y)g((c+1)x+2y+g(y))\ge2(m-1)g(y)，再加上 2g(y)2g(y) 即得 g(z)≥2m g(y)g(z)\ge2m\,g(y)。固定 z>2yz>2y 并令 m→∞m\to\infty，迫使对所有 y>0y>0 有 g(y)=0g(y)=0。因此对所有 x>0x>0 有 f(x)=2xf(x)=2x，代入验证知其满足原方程。