第3题

设

n

为正整数，

a_1,a_2,\ldots,a_n

为正实数。证明

\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2^i}\left(\frac{2}{1+a_i}\right)^{2^i}\ge\frac{2}{1+a_1a_2\cdots a_n}-\frac{1}{2^n}.

第 1/5 步：重述不等式

上一步下一步

A_k(x)=\frac{1}{2^k}\left(\frac{2}{1+x}\right)^{2^k},\qquad\sum_{i=1}^nA_i(a_i)\ge A_0(a_1a_2\cdots a_n)-\frac{1}{2^n}

详细分析

对 $k\ge0$ 记 $A_k(x)=\frac{1}{2^k}\left(\frac{2}{1+x}\right)^{2^k}$ ，于是 $A_0(x)=\frac{2}{1+x}$ 。所要证明的不等式变为 $\sum_{i=1}^nA_i(a_i)\ge A_0(a_1a_2\cdots a_n)-\frac{1}{2^n}$ 。