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第3题

设 nn 为正整数，a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n 为正实数。证明 ∑i=1n12i(21+ai)2i≥21+a1a2⋯an−12n.\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2^i}\left(\frac{2}{1+a_i}\right)^{2^i}\ge\frac{2}{1+a_1a_2\cdots a_n}-\frac{1}{2^n}.
第 2/5 步：引理的基础情形
上一步下一步
A1(x)+A1(y)≥A0(xy)  ⟺  xy(x−y)2+(xy−1)2≥0A_1(x)+A_1(y)\ge A_0(xy)\iff xy(x-y)^2+(xy-1)^2\ge0
详细分析

对 x,y>0x,y>0，A1(x)+A1(y)≥A0(xy)A_1(x)+A_1(y)\ge A_0(xy) 即 2(1+x)2+2(1+y)2≥21+xy\frac{2}{(1+x)^2}+\frac{2}{(1+y)^2}\ge\frac{2}{1+xy}。通分后，此式等价于 xy(x−y)2+(xy−1)2≥0xy(x-y)^2+(xy-1)^2\ge0，恒成立，等号当且仅当 x=y=1x=y=1 时取得。