第3题

设

n

为正整数，

a_1,a_2,\ldots,a_n

为正实数。证明

\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2^i}\left(\frac{2}{1+a_i}\right)^{2^i}\ge\frac{2}{1+a_1a_2\cdots a_n}-\frac{1}{2^n}.

第 4/5 步：沿乘积串联引理

上一步下一步

A_i(a_i)+A_i(a_{i+1}\cdots a_n)\ge A_{i-1}(a_i\cdots a_n),\quad i=n,n-1,\ldots,1

详细分析

对 $i=n,n-1,\ldots,1$ ，将第 $i$ 层的引理应用于 $x=a_i$ ， $y=a_{i+1}\cdots a_n$ （空积 $a_{n+1}\cdots a_n$ 视为 $1$ ）。这产生 $n$ 个不等式 $A_i(a_i)+A_i(a_{i+1}\cdots a_n)\ge A_{i-1}(a_i\cdots a_n)$ ，其中第 $i$ 层的右边恰好是第 $i-1$ 层不等式左边的第二项。