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第5题

直线 ℓ\ell 分别交圆内接四边形 ABCDABCD 的边 BCBC 与 ADAD 于其内部的点 RR 与 SS，并交射线 DCDC 于点 CC 之外的点 QQ，交射线 BABA 于点 AA 之外的点 PP。设三角形 QCRQCR 与 QDSQDS 的外接圆交于点 N≠QN\neq Q，三角形 PASPAS 与 PBRPBR 的外接圆交于点 M≠PM\neq P。设直线 MPMP 与 NQNQ 交于点 XX，直线 ABAB 与 CDCD 交于点 KK，直线 BCBC 与 ADAD 交于点 LL。证明点 XX 在直线 KLKL 上。
第 2/6 步：回顾 ABCD 的米格尔点位于 KL 上
上一步下一步
E=Miquel point of ABCD  ⟹  E∈KLE=\text{Miquel point of }ABCD\implies E\in KL
详细分析

设 EE 为直线 AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA 所成完全四边形的米格尔点，即圆 (KBC)(KBC)、(KAD)(KAD)、(LAB)(LAB)、(LCD)(LCD) 的公共第二交点。这个米格尔点 EE 位于连接两个对角点的直线 KLKL 上，是一个标准的事实。