MathLabs

第5题

直线 ℓ\ell 分别交圆内接四边形 ABCDABCD 的边 BCBC 与 ADAD 于其内部的点 RR 与 SS，并交射线 DCDC 于点 CC 之外的点 QQ，交射线 BABA 于点 AA 之外的点 PP。设三角形 QCRQCR 与 QDSQDS 的外接圆交于点 N≠QN\neq Q，三角形 PASPAS 与 PBRPBR 的外接圆交于点 M≠PM\neq P。设直线 MPMP 与 NQNQ 交于点 XX，直线 ABAB 与 CDCD 交于点 KK，直线 BCBC 与 ADAD 交于点 LL。证明点 XX 在直线 KLKL 上。
第 5/6 步：一条直线与圆至多交于两点
上一步下一步
ω∩KL={T,V} or tangent at E  ⟹  T=V\omega\cap KL=\{T,V\}\text{ or tangent at }E\implies T=V
详细分析

直线 KLKL 与圆 ω=(EMN)\omega=(EMN) 至多交于两点。由第三、四步，TT 与 VV 都在这些交点之中（EE 本身也是其中之一，可能是切点）。若 T≠ET\neq E 且 V≠EV\neq E，二者必为同一个第二交点，故 T=VT=V；若其中一个等于 EE，相切性质迫使另一个也等于 EE。无论哪种情形都有 T=VT=V。