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第1题

设 ABCABC 为内接于圆 Γ\Gamma 的锐角三角形。设 A1A_1 为 AA 到 BCBC 的正投影，使 AA1AA_1 为高。设 B1B_1 与 C1C_1 分别为 A1A_1 到 ABAB 与 ACAC 的正投影。点 PP 使四边形 AB1PC1AB_1PC_1 为凸四边形且与三角形 ABCABC 面积相等。是否可能 PP 严格位于圆 Γ\Gamma 的内部？请说明理由。
第 1/5 步：三角形 AB1C1 与 ABC 相似
上一步下一步
AC1=AA1sin⁡C,AB1=AA1sin⁡B,B1C1=AA1sin⁡AAC_1=AA_1\sin C,\quad AB_1=AA_1\sin B,\quad B_1C_1=AA_1\sin A
详细分析

因为 ∠AA1B1=∠AA1C1=90∘\angle AA_1B_1=\angle AA_1C_1=90^\circ，点 B1,C1B_1,C_1 在以 AA1AA_1 为直径的圆上。在该圆中，AC1=AA1sin⁡∠AA1C1=AA1sin⁡(90∘−∠A1AC)=AA1sin⁡CAC_1=AA_1\sin\angle AA_1C_1=AA_1\sin(90^\circ-\angle A_1AC)=AA_1\sin C，同理 AB1=AA1sin⁡BAB_1=AA_1\sin B，B1C1=AA1sin⁡AB_1C_1=AA_1\sin A；因此三角形 AC1B1AC_1B_1 与三角形 ABCABC 相似。