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第1题

设 ABCABC 为内接于圆 Γ\Gamma 的锐角三角形。设 A1A_1 为 AA 到 BCBC 的正投影，使 AA1AA_1 为高。设 B1B_1 与 C1C_1 分别为 A1A_1 到 ABAB 与 ACAC 的正投影。点 PP 使四边形 AB1PC1AB_1PC_1 为凸四边形且与三角形 ABCABC 面积相等。是否可能 PP 严格位于圆 Γ\Gamma 的内部？请说明理由。
第 3/5 步：AB1DC1 已具有所需面积
上一步下一步
[AB1DC1]=B1C1⋅AD2=AA1⋅BC2=[ABC][AB_1DC_1]=\frac{B_1C_1\cdot AD}{2}=\frac{AA_1\cdot BC}{2}=[ABC]
详细分析

记 AD=2RAD=2R；由正弦定理 BC=2Rsin⁡ABC=2R\sin A。由 B1C1=AA1sin⁡AB_1C_1=AA_1\sin A（第一步）及 AD⊥B1C1AD\perp B_1C_1（第二步），凸四边形 AB1DC1AB_1DC_1 的面积等于 B1C1⋅AD2=AA1sin⁡A⋅2R2=AA1⋅BC2\frac{B_1C_1\cdot AD}{2}=\frac{AA_1\sin A\cdot 2R}{2}=\frac{AA_1\cdot BC}{2}，这正是以 BCBC 为底、AA1AA_1 为高算得的三角形 ABCABC 的面积。