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第1题

设 ABCABC 为内接于圆 Γ\Gamma 的锐角三角形。设 A1A_1 为 AA 到 BCBC 的正投影，使 AA1AA_1 为高。设 B1B_1 与 C1C_1 分别为 A1A_1 到 ABAB 与 ACAC 的正投影。点 PP 使四边形 AB1PC1AB_1PC_1 为凸四边形且与三角形 ABCABC 面积相等。是否可能 PP 严格位于圆 Γ\Gamma 的内部？请说明理由。
第 4/5 步：P 的等面积轨迹
上一步下一步
{P:[AB1PC1]=[ABC]}=line through D parallel to B1C1\{P:[AB_1PC_1]=[ABC]\}=\text{line through }D\text{ parallel to }B_1C_1
详细分析

由于 B1,C1B_1,C_1 固定，凸四边形 AB1PC1AB_1PC_1 的面积是 PP 到直线 B1C1B_1C_1 距离的仿射函数。因此使该面积等于 [ABC][ABC] 的点 PP 的轨迹是一条平行于 B1C1B_1C_1 的直线。由第三步，DD 已经达到此面积，故该轨迹正是过 DD 平行于 B1C1B_1C_1 的直线，即过 DD 垂直于 ADAD 的直线。