MathLabs

第1题

设 ABCABC 为内接于圆 Γ\Gamma 的锐角三角形。设 A1A_1 为 AA 到 BCBC 的正投影，使 AA1AA_1 为高。设 B1B_1 与 C1C_1 分别为 A1A_1 到 ABAB 与 ACAC 的正投影。点 PP 使四边形 AB1PC1AB_1PC_1 为凸四边形且与三角形 ABCABC 面积相等。是否可能 PP 严格位于圆 Γ\Gamma 的内部？请说明理由。
第 5/5 步：轨迹是 D 处的切线
上一步下一步
locus=tangent to Γ at D  ⟹  P∉int⁡(Γ)\text{locus}=\text{tangent to }\Gamma\text{ at }D\implies P\notin\operatorname{int}(\Gamma)
详细分析

过 DD 且垂直于直径 ADAD 的直线正是 Γ\Gamma 在 DD 处的切线；该切线上其余每一点都严格位于 Γ\Gamma 外部。因此第四步得到的 PP 的等面积轨迹只在 DD 处与 Γ\Gamma 相切，其余部分都在其外部，所以 PP 永远不可能严格位于 Γ\Gamma 内部。答案是不可能。