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第2题

设 α\alpha、β\beta 为正实数。Emerald 在坐标平面中从原点 (0,0)(0,0) 出发进行一次旅行。每分钟她向上移动一个单位或向右移动一个单位，并将自己限制在坐标平面的区域 ∣x−y∣<2025|x-y|<2025 内。当她到达点 (x,y)(x,y) 时，就在该点写下整数 ⌊xα+yβ⌋\lfloor x\alpha+y\beta\rfloor。结果发现 Emerald 恰好把每个非负整数都写了一次。求所有使这样的旅行成为可能的数对 (α,β)(\alpha,\beta)。
第 2/6 步：区域限制了 x_n
上一步下一步
zn=⌊nβ+xn(α−β)⌋,n−20252<xn<n+20252z_n=\lfloor n\beta+x_n(\alpha-\beta)\rfloor,\qquad \frac{n-2025}{2}<x_n<\frac{n+2025}{2}
详细分析

记 znz_n 为 Emerald 在第 nn 分钟写下的整数；由第一步的 yn=n−xny_n=n-x_n 得 zn=⌊xnα+ynβ⌋=⌊nβ+xn(α−β)⌋z_n=\lfloor x_n\alpha+y_n\beta\rfloor=\lfloor n\beta+x_n(\alpha-\beta)\rfloor。约束 ∣xn−yn∣<2025|x_n-y_n|<2025 变为 ∣2xn−n∣<2025|2x_n-n|<2025，即 n−20252<xn<n+20252\frac{n-2025}{2}<x_n<\frac{n+2025}{2}。