由于 α,β>0\alpha,\beta>0α,β>0，从 (xn,yn)(x_n,y_n)(xn,yn) 移动到 (xn+1,yn+1)(x_{n+1},y_{n+1})(xn+1,yn+1) 使 xα+yβx\alpha+y\betaxα+yβ 增加 α\alphaα 或 β\betaβ，二者均为正，故 zn+1≥znz_{n+1}\ge z_nzn+1≥zn。因为 z0=0z_0=0z0=0 且数列 (zn)(z_n)(zn) 在单调不减的同时恰好取遍每个非负整数一次，它必须每步恰好增加一：对每个 nnn 都有 zn=nz_n=nzn=n。