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第2题

设 α\alpha、β\beta 为正实数。Emerald 在坐标平面中从原点 (0,0)(0,0) 出发进行一次旅行。每分钟她向上移动一个单位或向右移动一个单位，并将自己限制在坐标平面的区域 ∣x−y∣<2025|x-y|<2025 内。当她到达点 (x,y)(x,y) 时，就在该点写下整数 ⌊xα+yβ⌋\lfloor x\alpha+y\beta\rfloor。结果发现 Emerald 恰好把每个非负整数都写了一次。求所有使这样的旅行成为可能的数对 (α,β)(\alpha,\beta)。
第 4/6 步：有界性迫使 α+β=2
上一步下一步
n∣1−α+β2∣<20252(α−β)+1 for all n  ⟹  α+β=2n\left|1-\frac{\alpha+\beta}{2}\right|<\frac{2025}{2}(\alpha-\beta)+1\ \text{for all }n\implies\alpha+\beta=2
详细分析

不妨设 α≥β\alpha\ge\beta。将第二步中 xnx_n 的界代入 zn=⌊nβ+xn(α−β)⌋z_n=\lfloor n\beta+x_n(\alpha-\beta)\rfloor，得对每个 nn 都有 ∣zn−nα+β2∣<20252(α−β)+1\left|z_n-n\frac{\alpha+\beta}{2}\right|<\frac{2025}{2}(\alpha-\beta)+1。利用第三步的 zn=nz_n=n，此式变为对每个正整数 nn 都有 n∣1−α+β2∣<20252(α−β)+1n\left|1-\frac{\alpha+\beta}{2}\right|<\frac{2025}{2}(\alpha-\beta)+1，而右边是与 nn 无关的常数。若 α+β≠2\alpha+\beta\neq2，当 n→∞n\to\infty 时左边将无限增大，产生矛盾；故 α+β=2\alpha+\beta=2。