第3题

设 $k$ 为大于 $|a_0|$ 的素数，则 $k\nmid a_0$，故 $\gcd(a_0,k)=1$；由第一步得 $\gcd(P(k),k)=1$，即 $P(k)$ 的每个素因数都不整除 $k$。由于 $P$ 非常数，在这样的素数 $k$ 上 $|P(k)|\to\infty$，故 $P(k)$ 总有素因数；又因非常数整系数多项式不能无穷多次只取由一个固定有限素数集合构成的值，故以此方式出现无穷多个不同的素数 $p$，每个都与某个素数 $k>|a_0|$ 配对，满足 $p\mid P(k)$、$p\nmid k$。