第3题

设

P(x)

为整系数非常数多项式，且

P(0)\neq0

。设

a_1,a_2,a_3,\ldots

为一无穷整数数列，使得对任意不同的正整数

i,j

，

P(i-j)

都整除

a_i-a_j

。证明数列

a_1,a_2,a_3,\ldots

必为常数，即对每个正整数

n

，

a_n

都等于某个常数

c

。

第 3/5 步：数列模 p 的两个周期

上一步下一步

P(k)\mid a_{i+k}-a_i,\qquad P(k+p)\equiv P(k)\equiv0\!\!\pmod p\implies p\mid a_{i+k+p}-a_i

详细分析

对这样的一对 $(p,k)$ ， $P(k)\mid a_{i+k}-a_i$ 对每个 $i$ 成立，故 $p\mid a_{i+k}-a_i$ 。由于 $(k+p)-k=p$ ，整系数多项式满足 $P(k+p)\equiv P(k)\equiv0\pmod p$ ，故 $p\mid P(k+p)$ ，这又给出对每个 $i$ 都有 $p\mid a_{i+k+p}-a_i$ 。