第3题

设

P(x)

为整系数非常数多项式，且

P(0)\neq0

。设

a_1,a_2,a_3,\ldots

为一无穷整数数列，使得对任意不同的正整数

i,j

，

P(i-j)

都整除

a_i-a_j

。证明数列

a_1,a_2,a_3,\ldots

必为常数，即对每个正整数

n

，

a_n

都等于某个常数

c

。

第 4/5 步：结合两个周期

上一步下一步

\gcd(k,k+p)=1\implies p\mid a_{i+1}-a_i\ \text{for every }i

详细分析

由第三步，数列 $(a_i\bmod p)$ 具有周期 $k$ 与 $k+p$ 。因为 $p\nmid k$ ， $\gcd(k,k+p)=\gcd(k,p)=1$ ，而具有两个互素周期的数列以它们的最大公约数（即 $1$ ）为周期；也就是说，对每个 $i$ 都有 $p\mid a_{i+1}-a_i$ 。