第3题

设

P(x)

为整系数非常数多项式，且

P(0)\neq0

。设

a_1,a_2,a_3,\ldots

为一无穷整数数列，使得对任意不同的正整数

i,j

，

P(i-j)

都整除

a_i-a_j

。证明数列

a_1,a_2,a_3,\ldots

必为常数，即对每个正整数

n

，

a_n

都等于某个常数

c

。

第 5/5 步：得出数列为常数的结论

上一步下一步

a_{i+1}-a_i\text{ divisible by infinitely many primes}\implies a_{i+1}=a_i

详细分析

任意固定 $i$ 。第二步给出无穷多个素数 $p$ ，每个都通过第四步给出 $p\mid a_{i+1}-a_i$ 。由于固定整数 $a_{i+1}-a_i$ 有无穷多个素因数，它必须等于 $0$ ；因此对每个 $i$ 都有 $a_{i+1}=a_i$ ，数列 $a_1,a_2,a_3,\ldots$ 是常数。