第4题

设

n\ge 3

为整数。圆周上有

n

个格子，每个格子赋值为 0 或 1，一只公鸡位于其中一个格子。反复进行如下操作：若公鸡位于赋值 0 的格子，就把该数改为 1，并逆时针移动到下一个格子；若公鸡位于赋值 1 的格子，就把该数改为 0，并逆时针跳过一个格子移动到下下个格子。证明经过充分多次操作后，每当公鸡位于格子

C

，它恰好绕圆周三周并再次停在

C

，且每个格子的数都与这三周开始之前的数相同。

第 5/8 步：将模式传递到下一格

j+1

详细分析

若位置 $j$ 在连续三圈中两次停止、一次跳过，则位置 $j+1$ 也有同样性质（这三圈可能循环平移）。事实上， $j$ 被跳过时公鸡必在 $j+1$ 停止；在公鸡于 $j$ 停止的两圈中，操作前 $j$ 的数值两次不同，所以在 $j+1$ 一次停止、一次跳过。这就证明了传播性质。