第4题

设

n\ge 3

为整数。圆周上有

n

个格子，每个格子赋值为 0 或 1，一只公鸡位于其中一个格子。反复进行如下操作：若公鸡位于赋值 0 的格子，就把该数改为 1，并逆时针移动到下一个格子；若公鸡位于赋值 1 的格子，就把该数改为 0，并逆时针跳过一个格子移动到下下个格子。证明经过充分多次操作后，每当公鸡位于格子

C

，它恰好绕圆周三周并再次停在

C

，且每个格子的数都与这三周开始之前的数相同。

第 8/8 步：得出三圈后返回的结论

3n

详细分析

把全部 $n$ 个格子的贡献相加，在之后每个三圈区块中公鸡总共前进 $3n$ 个位置。这正好是三整圈，所以若从格子 $C$ 开始，就再次停在 $C$ 。由第七步，每个格子的数也都恢复原值，这正是充分多次操作后所需证明的结论。