第5题

考虑一个正整数无限数列

a_1,a_2,\ldots

，满足对所有正整数

m,n

且

m\le n

，

100!(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n)

都是

a_{n-m+1}a_{n+m}

的倍数。证明该数列要么有界，要么是线性的。若存在常数

N

使对每个正整数

n

都有

a_n<N

，则称数列有界；若对每个正整数

n

都有

a_n=n\cdot a_1

，则称数列是线性的。

第 2/10 步：较大的最小公倍数迫使可加性

上一步下一步

L=\operatorname{lcm}(a_r,a_s,a_{r+s})\mid c(a_{r+s}-a_r-a_s),\qquad L_{r,s}:=\operatorname{lcm}(a_r,a_s)>c^2(a_r+a_s)\Rightarrow a_{r+s}=a_r+a_s

详细分析

由第一步的关系， $c(a_{r+s}-a_r-a_s)$ 分别被 $a_r$ 、 $a_s$ 、 $a_{r+s}$ 整除，因而被 $L=\operatorname{lcm}(a_r,a_s,a_{r+s})$ 整除。又有 $a_{r+s}\le c(a_r+a_s)$ 。若 $L_{r,s}>c^2(a_r+a_s)$ ，则同余的两个正数 $ca_{r+s}$ 与 $c(a_r+a_s)$ 都小于 $L_{r,s}$ ，所以它们相等，从而 $a_{r+s}=a_r+a_s$ 。