第5题

考虑一个正整数无限数列

a_1,a_2,\ldots

，满足对所有正整数

m,n

且

m\le n

，

100!(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n)

都是

a_{n-m+1}a_{n+m}

的倍数。证明该数列要么有界，要么是线性的。若存在常数

N

使对每个正整数

n

都有

a_n<N

，则称数列有界；若对每个正整数

n

都有

a_n=n\cdot a_1

，则称数列是线性的。

第 10/10 步：持续存在的素因子与标准化矛盾

上一步下一步

a_n\mid c(a_{n+k}-a_k),\quad a_{n+k}\mid c(a_n+a_k)\Longrightarrow p\mid a_k\quad\forall k

详细分析

固定任意 $k$ 。由第一步 $a_n\mid c(a_{n+k}-a_k)$ ，故由无界性可取 $n$ 使 $a_n$ 与 $a_{n+k}$ 都至少为 $a_r$ （取值足够大时，正性迫使该差为正；事实上 $a_{n+k}\ge a_n/c-a_k$ ）。于是二者都被 $p^{e'}$ 整除。再由第一步的另一个关系 $a_{n+k}\mid c(a_n+a_k)$ 以及 $e'>v_p(c)$ ，得到 $p\mid a_k$ 。由于 $k$ 任意， $p$ 整除每一项，与标准化条件 $\gcd(a_1,a_2,\ldots)=1$ 矛盾。因此此情形下数列有界。