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第5题

考虑一个正整数无限数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots，满足对所有正整数 m,nm,n 且 m≤nm\le n，100!(am+am+1+⋯+an)100!(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n) 都是 an−m+1an+ma_{n-m+1}a_{n+m} 的倍数。证明该数列要么有界，要么是线性的。若存在常数 NN 使对每个正整数 nn 都有 an<Na_n<N，则称数列有界；若对每个正整数 nn 都有 an=n⋅a1a_n=n\cdot a_1，则称数列是线性的。
第 3/10 步：沿算术级数传播可加性
上一步下一步
akm+n=kam+an,am+kn=am+kan(k≥1)a_{km+n}=ka_m+a_n,\qquad a_{m+kn}=a_m+ka_n\quad(k\ge1)
详细分析

设 Lm,n>c2(am+an)L_{m,n}>c^2(a_m+a_n)，并记 x=amx=a_m、y=any=a_n。第二步给出 am+n=x+ya_{m+n}=x+y。此外，lcm⁡(x,x+y)=lcm⁡(x,y)(x+y)/y>c2(2x+y)\operatorname{lcm}(x,x+y)=\operatorname{lcm}(x,y)(x+y)/y>c^2(2x+y)，交换 x,yx,y 后也有类似不等式。因此可反复应用第二步，得到对每个 k≥1k\ge1，akm+n=kam+ana_{km+n}=ka_m+a_n 且 am+kn=am+kana_{m+kn}=a_m+ka_n。