第5题

考虑一个正整数无限数列

a_1,a_2,\ldots

，满足对所有正整数

m,n

且

m\le n

，

100!(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n)

都是

a_{n-m+1}a_{n+m}

的倍数。证明该数列要么有界，要么是线性的。若存在常数

N

使对每个正整数

n

都有

a_n<N

，则称数列有界；若对每个正整数

n

都有

a_n=n\cdot a_1

，则称数列是线性的。

第 4/10 步：所选两项与指标成比例

上一步下一步

ma_n=na_m,\qquad d=\gcd(m,n),\qquad a_m=\frac md t,\quad a_n=\frac nd t

详细分析

第三步的两个公式计算同一项： $a_{n+(n+1)m}=a_{m+(m+1)n}$ 。因此 $ma_n=na_m$ 。令 $d=\gcd(m,n)$ ；除以 $d$ 后的互素性表明存在整数 $t>0$ ，使 $a_m=(m/d)t$ 且 $a_n=(n/d)t$ 。