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第5题

考虑一个正整数无限数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots，满足对所有正整数 m,nm,n 且 m≤nm\le n，100!(am+am+1+⋯+an)100!(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n) 都是 an−m+1an+ma_{n-m+1}a_{n+m} 的倍数。证明该数列要么有界，要么是线性的。若存在常数 NN 使对每个正整数 nn 都有 an<Na_n<N，则称数列有界；若对每个正整数 nn 都有 an=n⋅a1a_n=n\cdot a_1，则称数列是线性的。
第 5/10 步：确定指标为 d 的倍数的所有项
上一步下一步
akd=kt(k≥1)a_{kd}=kt\quad(k\ge1)
详细分析

任意取足够大的正整数 R,SR,S 使 Rm−Sn=kdRm-Sn=kd，并令 x=n+(R+1)mx=n+(R+1)m、y=m+(S+1)ny=m+(S+1)n。则 x−y=kdx-y=kd，而第三步给出 ax=(t/d)xa_x=(t/d)x、ay=(t/d)ya_y=(t/d)y。由于 ax=ay+kda_x=a_{y+kd} 整除 c(ay+akd)c(a_y+a_{kd})，它也整除 c(akd−tk)c(a_{kd}-tk)。令 R,SR,S 增大使 axa_x 任意大，便得 akd=tka_{kd}=tk。