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第5题

考虑一个正整数无限数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots，满足对所有正整数 m,nm,n 且 m≤nm\le n，100!(am+am+1+⋯+an)100!(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n) 都是 an−m+1an+ma_{n-m+1}a_{n+m} 的倍数。证明该数列要么有界，要么是线性的。若存在常数 NN 使对每个正整数 nn 都有 an<Na_n<N，则称数列有界；若对每个正整数 nn 都有 an=n⋅a1a_n=n\cdot a_1，则称数列是线性的。
第 6/10 步：前一项序列无界
上一步下一步
akd=kt⟹akd−1 is unboundeda_{kd}=kt\Longrightarrow a_{kd-1}\text{ is unbounded}
详细分析

由第五步，akd=kta_{kd}=kt 趋于无穷大。但按第一步，akd=a1+(kd−1)a_{kd}=a_{1+(kd-1)} 整除 c(a1+akd−1)c(a_1+a_{kd-1})，所以当 kk 变化时 akd−1a_{kd-1} 无界。