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第5题

考虑一个正整数无限数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots，满足对所有正整数 m,nm,n 且 m≤nm\le n，100!(am+am+1+⋯+an)100!(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n) 都是 an−m+1an+ma_{n-m+1}a_{n+m} 的倍数。证明该数列要么有界，要么是线性的。若存在常数 NN 使对每个正整数 nn 都有 an<Na_n<N，则称数列有界；若对每个正整数 nn 都有 an=n⋅a1a_n=n\cdot a_1，则称数列是线性的。
第 7/10 步：高最小公倍数的一对迫使整个数列线性
上一步下一步
lcm⁡(apd,akd−1)>c2(apd+akd−1),gcd⁡(pd,kd−1)=1⟹aj=ja1\operatorname{lcm}(a_{pd},a_{kd-1})>c^2(a_{pd}+a_{kd-1}),\qquad \gcd(pd,kd-1)=1\Longrightarrow a_j=ja_1
详细分析

取 kk 足够大使 b=akd−1>c2tb=a_{kd-1}>c^2t，再取素数 p>bp>b 且 p∤(kd−1)p\nmid(kd-1)，并足够大使 pb>c2(pt+b)pb>c^2(pt+b)。由于 apd=pta_{pd}=pt，有 lcm⁡(apd,b)≥pb\operatorname{lcm}(a_{pd},b)\ge pb，故可应用第二步。对 (pd,kd−1)(pd,kd-1)，因 gcd⁡(d,kd−1)=1\gcd(d,kd-1)=1 且 p∤(kd−1)p\nmid(kd-1)，其最大公约数为 11。于是由第三至第五步（对已标准化的数列）得到对所有 jj 都有 aj=ja1a_j=j a_1。