MathLabs

第5题

考虑一个正整数无限数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots，满足对所有正整数 m,nm,n 且 m≤nm\le n，100!(am+am+1+⋯+an)100!(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n) 都是 an−m+1an+ma_{n-m+1}a_{n+m} 的倍数。证明该数列要么有界，要么是线性的。若存在常数 NN 使对每个正整数 nn 都有 an<Na_n<N，则称数列有界；若对每个正整数 nn 都有 an=n⋅a1a_n=n\cdot a_1，则称数列是线性的。
第 8/10 步：假设所有最小公倍数都很小
上一步下一步
lcm⁡(ar,as)≤2c2max⁡(ar,as)for all r,s\operatorname{lcm}(a_r,a_s)\le 2c^2\max(a_r,a_s)\quad\text{for all }r,s
详细分析

剩下考虑对所有项都有 lcm⁡(ar,as)≤c2(ar+as)\operatorname{lcm}(a_r,a_s)\le c^2(a_r+a_s) 的情形。若 ar≤asa_r\le a_s，写成 lcm⁡(ar,as)=Mas\operatorname{lcm}(a_r,a_s)=Ma_s，则 M≤2c2M\le2c^2；令 K=2c2K=2c^2。因此对每个 rr 以及数值满足 as≥ara_s\ge a_r 的项 ss，商 ar/gcd⁡(ar,as)a_r/\gcd(a_r,a_s) 不超过 KK。