第5题

考虑一个正整数无限数列

a_1,a_2,\ldots

，满足对所有正整数

m,n

且

m\le n

，

100!(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n)

都是

a_{n-m+1}a_{n+m}

的倍数。证明该数列要么有界，要么是线性的。若存在常数

N

使对每个正整数

n

都有

a_n<N

，则称数列有界；若对每个正整数

n

都有

a_n=n\cdot a_1

，则称数列是线性的。

第 9/10 步：大素数幂保留在每个足够大的项中

上一步下一步

p^e>K^2,\quad p^e\mid a_r\Longrightarrow a_s\ge a_r\Rightarrow p^{e'}\mid a_s,\quad p^{e'}>K>c

详细分析

假设标准化后的数列无界。则某项 $a_r$ 必被某个满足 $p^e>K^2$ 的素数幂整除；否则所有项中的素数幂都不超过 $K^2$ ，能出现的素数及指数只有有限多个，数列就会有界。对每个数值满足 $a_s\ge a_r$ 的项，商 $a_r/\gcd(a_r,a_s)$ 不超过 $K$ ，所以 $a_s$ 被 $p^{e'}$ 整除，且 $p^{e'}\ge p^e/K>K$ 。特别地，由于 $p^{v_p(c)}\le c<K$ ，有 $e'>v_p(c)$ 。