第3题

记

\mathbb{R}_+

为全体正实数组成的集合。求所有函数

f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}

，使得对任意

x,y,z\in\mathbb{R}_+

，都有

|x-y|<|y-z|\ \text{if and only if}\ |f(x)-f(y)|<|f(y)-f(z)|.

第 1/5 步：验证线性函数满足条件，并导出等距离规则

|x-y|=|z-y| \implies |f(x)-f(y)|=|f(z)-f(y)|

详细分析

任意满足 $a\ne0$ 的仿射函数 $f(x)=ax+b$ 显然满足条件。反之，设 $f$ 满足条件。对两个方向取逆否命题可知严格的距离大小关系保持不变；剩下的相等情形给出 $|x-y|=|z-y|\implies|f(x)-f(y)|=|f(z)-f(y)|$ 。