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第3题

记 R+\mathbb{R}_+ 为全体正实数组成的集合。求所有函数 f:R+→Rf:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}，使得对任意 x,y,z∈R+x,y,z\in\mathbb{R}_+，都有 ∣x−y∣<∣y−z∣ if and only if ∣f(x)−f(y)∣<∣f(y)−f(z)∣.|x-y|<|y-z|\ \text{if and only if}\ |f(x)-f(y)|<|f(y)-f(z)|.
第 2/5 步：ff 是单射
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f(x)=f(y), y≠z  ⟹  ∣f(x)−f(y)∣=0<∣f(y)−f(z)∣, taking x=y gives a contradictionf(x)=f(y),\ y\ne z \implies |f(x)-f(y)|=0<|f(y)-f(z)|,\ \text{taking }x=y\text{ gives a contradiction}
详细分析

设对某个 y≠zy\ne z 有 f(y)=f(z)f(y)=f(z)。取 x=yx=y 时左边为 0<∣y−z∣0<|y-z|，故条件要求 ∣f(x)−f(y)∣<∣f(y)−f(z)∣|f(x)-f(y)|<|f(y)-f(z)|。但因 f(y)=f(z)f(y)=f(z) 两边都等于 00，矛盾。因此函数是单射。