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第3题

记 R+\mathbb{R}_+ 为全体正实数组成的集合。求所有函数 f:R+→Rf:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}，使得对任意 x,y,z∈R+x,y,z\in\mathbb{R}_+，都有 ∣x−y∣<∣y−z∣ if and only if ∣f(x)−f(y)∣<∣f(y)−f(z)∣.|x-y|<|y-z|\ \text{if and only if}\ |f(x)-f(y)|<|f(y)-f(z)|.
第 4/5 步：ff 单调
上一步下一步
∃ y<x<z: sign(f(x)−f(y))≠sign(f(z)−f(x))  ⟹  ∣f(y)−f(z)∣<max⁡(∣f(x)−f(y)∣,∣f(z)−f(x)∣)\exists\, y<x<z:\ \text{sign}(f(x)-f(y))\ne \text{sign}(f(z)-f(x)) \implies |f(y)-f(z)|<\max(|f(x)-f(y)|,|f(z)-f(x)|)
详细分析

设 ff 不是单调的：存在 y<x<zy<x<z 使得 f(x)−f(y)f(x)-f(y) 与 f(z)−f(x)f(z)-f(x) 异号。此时 ∣f(y)−f(z)∣<max⁡(∣f(x)−f(y)∣,∣f(z)−f(x)∣)|f(y)-f(z)|<\max(|f(x)-f(y)|,|f(z)-f(x)|)，而以 (y,x,z)(y,x,z) 分别扮演 (x,y,z)(x,y,z) 的角色代入假设条件，得到 ∣f(y)−f(z)∣>max⁡(∣f(x)−f(y)∣,∣f(z)−f(x)∣)|f(y)-f(z)|>\max(|f(x)-f(y)|,|f(z)-f(x)|)，矛盾。故 ff 单调。