第3题

记

\mathbb{R}_+

为全体正实数组成的集合。求所有函数

f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}

，使得对任意

x,y,z\in\mathbb{R}_+

，都有

|x-y|<|y-z|\ \text{if and only if}\ |f(x)-f(y)|<|f(y)-f(z)|.

第 5/5 步：归一化并用稠密性确定

f

上一步下一步

f(1)=1,f(2)=2 \implies f\!\left(\tfrac{n}{2^k}\right)=\tfrac{n}{2^k}\ \forall n\in\mathbb{Z}_{>0},k\ge0 \implies f(x)=x\ \forall x\in\mathbb{R}_+

详细分析

由于 $f$ 是单射， $f(2)\ne f(1)$ 。定义 $g(x)=1+(f(x)-f(1))/(f(2)-f(1))$ 。值域上的仿射变换保持该条件，因此 $g$ 也满足条件且 $g(1)=1,g(2)=2$ 。反复应用中点性质，得到对任意正整数 $n$ 与 $k\ge0$ ， $g(n/2^k)=n/2^k$ 。这些值在 $\mathbb R_+$ 中稠密，故由单调性 $g(x)=x$ ；还原标准化即得原函数为 $f(x)=ax+b$ 。