MathLabs

第4题

设 ABCDABCD 是有内切圆 ω\omega（圆心为 II）的四边形。对角线 ACAC 与 BDBD 交于 EE。设 JJ 为三角形 ABDABD 的内心。射线 EJEJ 的延长线与 ω\omega 交于 PP。证明 PI⊥BDPI\perp BD。
第 3/6 步：帕斯卡定理确定 LL 在 ACAC 上并给出其极线
上一步下一步
W,X,Y,Z=ω∩AB,BC,CD,DA;L:=XY∩ZW  ⟹  L∈AC,BD=polarω(L)W,X,Y,Z=\omega\cap AB,BC,CD,DA;\quad L:=XY\cap ZW \implies L\in AC,\quad BD=\text{polar}_\omega(L)
详细分析

设 ω\omega 分别与 ABAB、BCBC、CDCD、DADA 相切于 W,X,Y,ZW,X,Y,Z，并令 L:=XY∩ZWL:=XY\cap ZW。对内接于 ω\omega、经过这些切点、沿切线取适当重复所得的（退化）六边形应用帕斯卡定理，可得 L∈ACL\in AC；结合外切四边形关于极点-极线的标准对应关系，同样可得 BD=polarω(L)BD=\text{polar}_\omega(L)。