MathLabs

第4题

设 ABCDABCD 是有内切圆 ω\omega（圆心为 II）的四边形。对角线 ACAC 与 BDBD 交于 EE。设 JJ 为三角形 ABDABD 的内心。射线 EJEJ 的延长线与 ω\omega 交于 PP。证明 PI⊥BDPI\perp BD。
第 4/6 步：由极点-极线构型得到调和点列
上一步下一步
V:=IL∩BD  ⟹  (P′,V,Q,L) harmonicV:=IL\cap BD \implies (P',V,Q,L)\text{ harmonic}
详细分析

设 V:=IL∩BDV:=IL\cap BD。由于 BDBD 是 LL 关于 ω\omega 的极线，且 P′QP'Q 是 ω\omega 中垂直于 BDBD 的直径，极点与极线的标准调和性质表明 P′,V,Q,LP',V,Q,L 在直线 ILIL 上构成调和点列。由于反演与从一点的射影都保持交比，该调和关系也传递到过 JJ 与过 AA 的线束上。