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第4题

设 ABCDABCD 是有内切圆 ω\omega（圆心为 II）的四边形。对角线 ACAC 与 BDBD 交于 EE。设 JJ 为三角形 ABDABD 的内心。射线 EJEJ 的延长线与 ω\omega 交于 PP。证明 PI⊥BDPI\perp BD。
第 6/6 步：得出 PI⊥BDPI \perp BD
上一步下一步
E,J,P′ collinear  ⟹  P=P′  ⟹  PI=P′I∥(diameter P′Q⊥BD)  ⟹  PI⊥BDE,J,P'\text{ collinear} \implies P=P' \implies PI=P'I\parallel\text{(diameter }P'Q\perp BD) \implies PI\perp BD
详细分析

由第五步知 EE、JJ、P′P' 共线，故射线 EJEJ 的延长线恰在 P′P' 处与 ω\omega 相交；即 P=P′P=P'。由于选取 P′P' 使得 P′QP'Q 是 ω\omega 中垂直于 BDBD 的直径，线段 PIPI 位于该直径上，因此 PI⊥BDPI\perp BD。