国际数学奥林匹克 · 1959年

试题

第1题证明对每个自然数 $n$ ，分数 $\frac{21n+4}{14n+3}$ 都是最简分数。解法: 1
第2题平方根均取非负值。对 $A=\sqrt2$ 、 $A=1$ 、 $A=2$ ，求满足 $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=A$ 的实数 $x$ 。解法: 1
第3题设 $a,b,c$ 为实数，考虑 $a\cos^2x+b\cos x+c=0$ 。用 $a,b,c$ 构造以 $\cos2x$ 为未知量且具有相同 $x$ 根的二次方程。比较 $a=4$ 、 $b=2$ 、 $c=-1$ 时的方程。解法: 1
第4题给定斜边 $c$ ,作一个直角三角形,使得斜边上的中线等于两条直角边的几何平均。解法: 1
第5题在线段 $AB$ 内任取一点 $M$ 。在 $AB$ 同侧作正方形 $AMCD$ 与 $MBEF$ ,其外接圆圆心分别为 $P$ 与 $Q$ 。两外接圆再次相交于 $N$ 。设 $N'$ 为直线 $AF$ 与 $BC$ 的交点。(a)证明 $N=N'$ 。(b)证明 $MN$ 经过一个与 $M$ 无关的定点。(c)当 $M$ 变化时,求 $PQ$ 中点的轨迹。解法: 1
第6题两个平面 $P$ 与 $Q$ 相交于直线 $p$ 。点 $A\in P$ 、 $C\in Q$ 均不在 $p$ 上。作一个等腰梯形 $ABCD$ ,满足 $AB\parallel DC$ ,可以内切圆,且 $B\in P$ 、 $D\in Q$ 。解法: 1