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第2题

平方根均取非负值。对 A=2A=\sqrt2、A=1A=1、A=2A=2，求满足 x+2x−1+x−2x−1=A\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=A 的实数 xx。
第 2/4 步：平方一次并化简
上一步下一步
通俗地说

两个外层根式的乘积为 x2−(2x−1)=∣x−1∣\sqrt{x^2-(2x-1)}=|x-1|。

2x+2(x−1)2=A2⟹2x+2∣x−1∣=A22x+2\sqrt{(x-1)^2}=A^2\Longrightarrow2x+2|x-1|=A^2
详细分析

将原方程平方得 2x+2(x+2x−1)(x−2x−1)=A22x+2\sqrt{(x+\sqrt{2x-1})(x-\sqrt{2x-1})}=A^2。剩余根式内的乘积是 (x−1)2(x-1)^2，故方程化为 2x+2∣x−1∣=A22x+2|x-1|=A^2。