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第5题

在线段 ABAB 内任取一点 MM。在 ABAB 同侧作正方形 AMCDAMCD 与 MBEFMBEF,其外接圆圆心分别为 PP 与 QQ。两外接圆再次相交于 NN。设 N′N' 为直线 AFAF 与 BCBC 的交点。(a)证明 N=N′N=N'。(b)证明 MNMN 经过一个与 MM 无关的定点。(c)当 MM 变化时,求 PQPQ 中点的轨迹。
第 2/5 步：确定直径为 ABAB 的圆
上一步下一步
∠AMN=∠BMN=90∘⟹A,M,N,B are concyclic\angle AMN=\angle BMN=90^\circ\quad\Longrightarrow\quad A,M,N,B\text{ are concyclic}
详细分析

因为 NN 在两个正方形的外接圆上,由直角关系得 ∠ANB=90∘\angle ANB=90^\circ。所以 NN 在直径为 ABAB 的圆上。对 N′N' 也因 ∠AN′B=90∘\angle AN'B=90^\circ 得同样结论。