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第5题

在线段 ABAB 内任取一点 MM。在 ABAB 同侧作正方形 AMCDAMCD 与 MBEFMBEF,其外接圆圆心分别为 PP 与 QQ。两外接圆再次相交于 NN。设 N′N' 为直线 AFAF 与 BCBC 的交点。(a)证明 N=N′N=N'。(b)证明 MNMN 经过一个与 MM 无关的定点。(c)当 MM 变化时,求 PQPQ 中点的轨迹。
第 5/5 步：求两正方形中心中点的轨迹
上一步下一步
R=mid⁡(PQ)⟹d(R,AB)=AB4R=\operatorname{mid}(PQ)\quad\Longrightarrow\quad d(R,AB)=\frac{AB}{4}
详细分析

中心 PP 与 QQ 分别距 ABAB 为 AM/2AM/2 与 MB/2MB/2,且在同侧。因此中点 RR 到 ABAB 的距离为 (AM/2+MB/2)/2=AB/4(AM/2+MB/2)/2=AB/4。当 MM 变化时,其沿 ABAB 的投影跑过相应区间,所以轨迹是平行于 ABAB 且距其 AB/4AB/4 的线段(端点为 MM 趋近 AA 与 BB 时的位置)。