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第6题

两个平面 PP 与 QQ 相交于直线 pp。点 A∈PA\in P、C∈QC\in Q 均不在 pp 上。作一个等腰梯形 ABCDABCD,满足 AB∥DCAB\parallel DC,可以内切圆,且 B∈PB\in P、D∈QD\in Q。
第 5/5 步：完成作图并验证
上一步下一步
D∈c,A′D→=A′B′→−A′C→,AD=BC=A′CD\in c,\qquad \overrightarrow{A'D}=\overrightarrow{A'B'}-\overrightarrow{A'C},\qquad AD=BC=A'C
详细分析

令 cc 为过 CC 且平行于 pp 的直线。对选定的 BB 作到 cc 的正投影,记为 B′B'。在有向直线 cc 上作 DD,使 A′D→=A′B′→−A′C→\overrightarrow{A'D}=\overrightarrow{A'B'}-\overrightarrow{A'C};这是完成等腰梯形的标准步骤(符号选择与顶点顺序相符的一侧)。所作过 A′A' 的圆保证 BC=A′CBC=A'C,而平行底边的完成保证 AD=BCAD=BC。因此 AB+DC=2A′C=AD+BCAB+DC=2A'C=AD+BC,由可内切四边形判据得内切圆。根据圆的交点情况,可能有两个解、一个解(正方形)或无解。