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第1题

求所有能被 1111 整除的三位数 NN,使得 N/11N/11 等于 NN 各数字的平方和。
第 2/6 步:情形A(不进位):写出数字平方和的条件
a2+(a+b)2+b2=10a+b(no carry: a+b≤9)a^2+(a+b)^2+b^2=10a+b \quad(\text{no carry: } a+b\le 9)
详细分析

当 a+b≤9a+b\le 9 时,NN 的数字恰好是 a, a+b, ba,\ a+b,\ b,于是“N/11=N/11= 等于各数字平方和”这一条件变为 10a+b=a2+(a+b)2+b210a+b=a^2+(a+b)^2+b^2。展开右边得到 2a2+2ab+2b2=10a+b2a^2+2ab+2b^2=10a+b。