国际数学奥林匹克 · 1960年

试题

第1题求所有能被 $11$ 整除的三位数 $N$ ,使得 $N/11$ 等于 $N$ 各数字的平方和。解法: 2
第2题不等式 $\dfrac{4x^2}{\left(1-\sqrt{1+2x}\right)^2} < 2x+9$ 对哪些实数 $x$ 成立?解法: 1
第3题给定直角三角形 $ABC$ ,斜边 $BC$ 长为 $a$ ,将其分成 $n$ 个相等部分,其中 $n$ 为奇数。中间部分在 $A$ 处所对的角为 $\alpha$ 。若 $A$ 到 $BC$ 的垂距为 $h$ ,证明 $\tan\alpha=\dfrac{4nh}{a(n^2-1)}$ 。解法: 1
第4题已知从 $A$ 、 $B$ 作出的高以及从 $A$ 作出的中线长度,作三角形 $ABC$ 。解法: 1
第5题立方体 $ABCDA'B'C'D'$ 中 $A$ 在 $A'$ 正上方, $B$ 在 $B'$ 正上方,依此类推。 $X$ 为面内对角线 $AC$ 上任意一点, $Y$ 为 $B'D'$ 上任意一点。(a)求 $XY$ 中点的轨迹。(b)求 $XY$ 上满足 $ZY=2XZ$ 的点 $Z$ 的轨迹。解法: 1
第6题一个旋转圆锥内切一个同时与底面和侧面相切的球。作一个外接于该球的圆柱,使其底面位于圆锥底面内。设圆锥和圆柱体积分别为 $V_1$ 、 $V_2$ :(a)证明 $V_1\ne V_2$ ;(b)求 $V_1/V_2$ 的最小值,并在此情形作出圆锥的半顶角。解法: 1
第7题在等腰梯形 $ABCD$ 中, $AB\parallel DC$ 且 $BC=AD$ ,设 $AB=a$ , $CD=c$ ,从 $A$ 到 $CD$ 的垂距为 $h$ 。说明如何作出对称轴上所有满足 $\angle BXC=\angle AXD=90^\circ$ 的点 $X$ 。求每个 $X$ 到 $AB$ 与 $CD$ 的距离,并给出这些点存在的条件。解法: 1