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第1题

求所有能被 1111 整除的三位数 NN,使得 N/11N/11 等于 NN 各数字的平方和。
第 3/6 步：情形A:由奇偶性得 b 是 4 的倍数
上一步下一步
b=2B  ⟹  B=a(a−5)+2aB+4B2 is even  ⟹  b∈{0,4,8}b=2B \implies B=a(a-5)+2aB+4B^2 \text{ is even} \implies b\in\{0,4,8\}
详细分析

由 2a2+2ab+2b2=10a+b2a^2+2ab+2b^2=10a+b 知左边为偶数,故 bb 为偶数;设 b=2Bb=2B。代入并化简得 B=a(a−5)+2aB+4B2B=a(a-5)+2aB+4B^2,右边为偶数,故 BB 也是偶数。因此 b=2Bb=2B 是 44 的倍数,只需检验 b=0,4,8b=0,4,8。