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第2题

不等式 4x2(1−1+2x)2<2x+9\dfrac{4x^2}{\left(1-\sqrt{1+2x}\right)^2} < 2x+9 对哪些实数 xx 成立?
第 2/5 步:换元以消去根号
x=−12+a22, a≥0  ⟹  1+2x=ax=-\tfrac12+\tfrac{a^2}{2},\ a\ge0 \implies \sqrt{1+2x}=a
详细分析

由于 x≥−12x\ge-\tfrac12,令 1+2x=a21+2x=a^2(其中 a≥0a\ge0),即 x=a2−12x=\tfrac{a^2-1}{2}。这样就把棘手的根号变成了普通变量 aa,而被禁止的值 x=0x=0 也简单地变成了 a≠1a\neq1。