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第3题

给定直角三角形 ABCABC,斜边 BCBC 长为 aa,将其分成 nn 个相等部分,其中 nn 为奇数。中间部分在 AA 处所对的角为 α\alpha。若 AA 到 BCBC 的垂距为 hh,证明 tan⁡α=4nha(n2−1)\tan\alpha=\dfrac{4nh}{a(n^2-1)}。
第 2/5 步：用有向距离应用正切差公式
上一步下一步
tan⁡α=AH⋅PQAH2+(QH)(PH)=h(a/n)h2+(QH)(PH)\tan\alpha=\frac{AH\cdot PQ}{AH^2+(QH)(PH)}=\frac{h(a/n)}{h^2+(QH)(PH)}
详细分析

设 HH 为 AA 到 BCBC 的垂足,故 AH=hAH=h。APAP 与 AQAQ 分别与 AHAH 所成角的有向正切为 PH/AHPH/AH 与 QH/AHQH/AH。两角之差为 α\alpha,因此正切差公式给出 tan⁡α=AH⋅(QH−PH)/(AH2+QH⋅PH)=AH⋅PQ/(AH2+QH⋅PH)\tan\alpha=AH\cdot(QH-PH)/(AH^2+QH\cdot PH)=AH\cdot PQ/(AH^2+QH\cdot PH)。