第5题

立方体

ABCDA'B'C'D'

中

A

在

A'

正上方,

B

在

B'

正上方,依此类推。

X

为面内对角线

AC

上任意一点,

Y

为

B'D'

上任意一点。(a)求

XY

中点的轨迹。(b)求

XY

上满足

ZY=2XZ

的点

Z

的轨迹。

第 3/5 步：求中点轨迹

上一步下一步

M=\dfrac{X+Y}{2}=\left(\dfrac{t+1-s}{2},\dfrac{t+s}{2},\dfrac12\right)

详细分析

中点 $M$ 总有 $z=1/2$ 。其余坐标是 $t,s$ 的仿射函数。更具体地, $M_x+M_y=1/2+t$ 取遍 $[1/2,3/2]$ , $M_x-M_y=1/2-s$ 取遍 $[-1/2,1/2]$ 。因此 $M$ 填满中间平面内的正方形,边长为 $1/\sqrt2$ ,顶点是四个侧面的中点。