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第6题

一个旋转圆锥内切一个同时与底面和侧面相切的球。作一个外接于该球的圆柱,使其底面位于圆锥底面内。设圆锥和圆柱体积分别为 V1V_1、V2V_2:(a)证明 V1≠V2V_1\ne V_2;(b)求 V1/V2V_1/V_2 的最小值,并在此情形作出圆锥的半顶角。
第 1/4 步：由相切条件表示圆锥尺寸
上一步下一步
通俗地说

球半径是自然的尺度,形状只由半顶角这一个参数决定。

VO=r(1+1sin⁡θ),R=r(1+1sin⁡θ)tan⁡θVO=r\left(1+\dfrac1{\sin\theta}\right),\quad R=r\left(1+\dfrac1{\sin\theta}\right)\tan\theta
详细分析

设 VV 为顶点,OO 为球心,XX 为圆锥底面中心,rr 为球半径。在轴截面的直角三角形中,由于球与侧面相切,VO=r/sin⁡θVO=r/\sin\theta;由于与底面相切,OX=rOX=r。所以圆锥高 H=VX=r(1+1/sin⁡θ)H=VX=r(1+1/\sin\theta),底面半径 R=Htan⁡θR=H\tan\theta。