第6题

一个旋转圆锥内切一个同时与底面和侧面相切的球。作一个外接于该球的圆柱,使其底面位于圆锥底面内。设圆锥和圆柱体积分别为

V_1

、

V_2

:(a)证明

V_1\ne V_2

;(b)求

V_1/V_2

的最小值,并在此情形作出圆锥的半顶角。

第 2/4 步：计算体积比

上一步下一步

V_2=2\pi r^3,\quad \dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{(1+s)^3}{6s(1-s^2)},\quad s=\sin\theta

详细分析

外接于球的圆柱半径为 $r$ ,高为 $2r$ ,故 $V_2=2\pi r^3$ 。令 $s=\sin\theta$ ,用 $\cos^2\theta=1-s^2$ ,把 $H$ 与 $R$ 代入 $V_1=\tfrac13\pi R^2H$ ,得到 $V_1/V_2=(1+s)^3/[6s(1-s^2)]$ ,其中 $0<s<1$ 。