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第6题

一个旋转圆锥内切一个同时与底面和侧面相切的球。作一个外接于该球的圆柱,使其底面位于圆锥底面内。设圆锥和圆柱体积分别为 V1V_1、V2V_2:(a)证明 V1≠V2V_1\ne V_2;(b)求 V1/V2V_1/V_2 的最小值,并在此情形作出圆锥的半顶角。
第 3/4 步：证明下界并推出 V1 ≠ V2
上一步下一步
V1V2≥43  ⟺  (1+s)3≥8s(1−s2)\dfrac{V_1}{V_2}\ge\dfrac43\iff (1+s)^3\ge8s(1-s^2)
详细分析

因 0<s<10<s<1 时分母为正,V1/V2≥4/3V_1/V_2\ge4/3 等价于 (1+s)3≥8s(1−s2)(1+s)^3\ge8s(1-s^2)。两边相减得 1−5s+3s2+9s3=(1−3s)2(1+s)≥01-5s+3s^2+9s^3=(1-3s)^2(1+s)\ge0。所以 V1/V2≥4/3>1V_1/V_2\ge4/3>1,从而 V1≠V2V_1\ne V_2。